北美大讲堂 | ACT真题解析第62期：ACT数学拾遗补缺之多项式

考察多项式的题目在ACT数学中层出不穷，其中考得较多的就是以下两点：

1. 多项式相等的条件

2. 多项式的零的三种等价条件

我们先来看一道考察多项式相等的条件的题目。

47. (2018年12月) Given constants c, d, m, and n such that x² + mx + c has factors of (x + 2) and (x + 4) and x² + nx + d has factors of (x + 3) and (x + 7), what is mn?

A. 16

B. 18

C. 29

D. 60

E. 168

此题中，(x + 2)和(x + 4)都是x² + mx + c的因式，x² + mx + c的二次项前的系数是1，则有(x + 2)(x + 4) = x² + mx + c。我们将左边的式子展开，可以得到x² +6x +8 = x² + mx + c。根据多项式相等的条件，要使x² +6x +8等于x² + mx + c，对应的每一项前的系数都要相等。所以，m = 6，c = 8。

同理，(x + 3)(x + 7) = x² +10x + 21 = x² + nx + d，则有n = 10，d = 21。

题目所要求的mn = 6 X 10 = 60，故此题选D。

在此基础上，ACT还经常结合多项式的零的三种等价条件进行考察。

48.（2020年6月）Given that x = -2 is a solution to x² + bx – 6 = 0, which of the following polynomials is a factor of x² + bx – 6?

F. x - 3

G. x - 2

H. x - 1

J. x + 1

K. x + 3

根据前文提及的等价条件，如果x = c是多项式方程P(x)=0的一个解，那么x - c就是多项式方程P的因式，反之亦然。此题中x = -2是x² + bx – 6 = 0的一个解，那么x + 2就是多项式x² + bx – 6的一个因式。

我们设x² + bx – 6的另一个因式是ax + c，则有(ax + c)(x+2)= x² + bx – 6。将等式左边展开可得ax² + (c+2a)x + 2c = x² + bx – 6。根据多项式相等的条件,解得。因此，x – 3是x² + bx – 6的一个因式，此题选F。

60. One root of the quadratic polynomial ax² + 13x - 6 is equal to -3. Which of the following binomials is a factor of ax² + 13x - 6?

F. x -

G. x +

H. x – 3

J. x - 5

K. x+5

此题最 高次项系数未知，根据等价条件，-3是ax² + 13x – 6 = 0的根，所以(x + 3)是ax² + 13x – 6的因式。设ax² + 13x – 6的另一个因式是bx + c，则有(x + 3)( bx + c) = bx² +(3b + c)x +3c = ax² + 13x – 6。根据多项式相等的条件，解得。也就是说，5x – 2是ax² + 13x – 6的另一个因式，则x - （2/5）是ax² + 13x – 6因式，此题选F。